1° Aula com os alunos do 3° ano do Ensino Médio
Colégio Estadual Presidente Roosevelt
Data: 21/08/2014
Assunto: Trigonometria
Objetivo: Conhecer melhor a Trigonometria e desenvolver o interesse pela Matemática.
Materiais Utilizados: Círculo Trigonométrico, Geoplano, Vídeo "Donald no País da Matemágica" e folha de atividades.
História do Grau
Em livros de
matemática, é comum encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que
o ângulo raso mede 180º. Mas, qual é a razão para os valores serem justamente
90 e 180?
No ano de 4000 a.C.,
quando egípcios e árabes tentavam elaborar um calendário, acreditava-se que o
Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma
volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou
seja, um arco de circunferência de sua órbita.
A esse arco fez-se
corresponder um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados
passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma
unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.
Logo, para os antigos egípcios e árabes, o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, porém manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
Logo, para os antigos egípcios e árabes, o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, porém manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
História do Radiano
O cálculo do radiano é feito a partir de uma circunferência de raio r e um arco dessa mesma circunferência ( ), se a medida do arco for a mesma medida do raio, veja a figura abaixo:
Dizemos que a medida do arco é igual a 1 radiano ou seja 1 rad. Assim, podemos definir um radiano como sendo um arco onde a sua medida é a mesma do raio da circunferência que contém o arco.
O valor do ângulo α será igual a 1 radiano, se somente se, o valor do arco correspondente a ele for igual a 1 radiano.
Por exemplo: Dada uma circunferência de raio 6 cm, nela contém um arco igual a 8 cm, qual seria a medida desse arco em radianos?
Sabemos que 1 rad será igual ao valor do raio, então montamos a seguinte regra de três:
rad cm
1 ------------------- 6
x ------------------- 8
Portanto,
6x = 8
x = 8 : 6
x = 1,3 rad
Logo, a medida do arco é 1,3 rad.
Por exemplo: como calcularíamos o comprimento de uma circunferência em radianos sabendo que o seu comprimento é igual a 2π r, utilizaremos da mesma regra de três do exemplo anterior.
rad comprimento
1 -------------------- r
x -------------------- 2π r
xr = 2π r
x = 2π r
r
x = 2π rad
Portanto, o comprimento de circunferência igual a 2π r em radianos será igual a 2π rad.
Ângulos Notáveis
Os
ângulos 30°, 45° e 60° são chamados notáveis por aparecerem frequentemente em
cálculos. Vamos determinar o seno, cosseno e tangente de cada um deles. Para
isso, vamos considerar o triângulo equilátero ABC da figura :
Podemos
destacar algumas relações:
Cada lado
do triângulo mede l;
AD é a bissetriz de BÂC;
AD é a mediana de BC,
dividindo BC em duas partes iguais de tamanho l/2
em D;
A
altura h pode ser escrita em função dos lados l,
da seguinte forma:
Determinação do seno, cosseno e tangente de 30° e
60°
O seno de
um ângulo é definido como a razão do cateto oposto a este ângulo pela
hipotenusa do triângulo:
O cosseno
de um ângulo é definido pela razão entre o cateto adjacente a este ângulo pela
hipotenusa do triângulo:
A
tangente de um ângulo é definida pela razão entre o cateto oposto pelo cateto
adjacente a este ângulo:
Determinação
do seno, cosseno e tangente de 45°.
A
diagonal d forma com os lados l um ângulo de 45° e podemos escrever a
diagonal em função dos lados l:
Vamos,
agora, construir uma tabela com os ângulos notáveis:
Círculo Trigonométrico
O círculo
trigonométrico é uma circunferência de raio unitário com intervalo de [0, 2π],
a cada ponto da circunferência associamos um número real. No ciclo
trigonométrico trabalhamos três tipos de simetria: em relação ao eixo vertical
(seno), eixo horizontal (cosseno) e em relação ao centro.
Seno
Alguns valores envolvendo seno de ângulos são conhecidos e fáceis de aprimorar, por exemplo, sen π/6 = sen 30º = 1/2. Outro bem familiar é sen π/4 = 45º = √3/2. Para identificarmos o seno dos outros ângulos utilizamos a simetria vertical. Observe a circunferência trigonométrica a seguir:
Seno
Alguns valores envolvendo seno de ângulos são conhecidos e fáceis de aprimorar, por exemplo, sen π/6 = sen 30º = 1/2. Outro bem familiar é sen π/4 = 45º = √3/2. Para identificarmos o seno dos outros ângulos utilizamos a simetria vertical. Observe a circunferência trigonométrica a seguir:
Cosseno
No caso dos cossenos vamos utilizar a simetria horizontal para determinar o cosseno dos ângulos do círculo trigonométrico.
No caso dos cossenos vamos utilizar a simetria horizontal para determinar o cosseno dos ângulos do círculo trigonométrico.
Ângulo
positivo é o
ângulo gerado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Ângulo
negativo é o
ângulo gerado no sentido dos ponteiros do relógio.
Enquadramento de seno e do cosseno:
O sinal
de uma razão trigonométrica depende exclusivamente do sinal das coordenadas do
ponto associado ao círculo trigonométrico.
Para todo
o a,
Para todo
o a,
Temos que
uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad, de
acordo com a ilustração a seguir:
Note que
o círculo possui raio medindo uma unidade e é dividido em quatro quadrantes, facilitando
a localização dos ângulos trigonométricos, de acordo com a seguinte situação:
1º
quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º.
2º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 90º < α < 180º.
3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º.
4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º.
Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é, eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad, com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão será a menor determinação positiva do arco. Dessa forma, a determinação principal do arco em um dos quadrantes fica mais fácil.
2º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 90º < α < 180º.
3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º.
4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º.
Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é, eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad, com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão será a menor determinação positiva do arco. Dessa forma, a determinação principal do arco em um dos quadrantes fica mais fácil.
Fotos tiradas no decorrer da aula
Foto do grupo antes da aula
(Vinicius, Hagata, Déborah, Aryadnne, Ana Paula e Prof Eliseu)
Círculo Trigonométrico
Geoplano
O grupo dando aula
Uma Parte do Vídeo "Donald no País da Matemágica"
Foto dos alunos assistindo o Vídeo
A amiga Hagata nos apresentando a Turma.
O amigo Vinicius Duarte contando a História do Grau e do Radiano
Nossa Amiga Aryádnne Falando sobre Ângulos Notáveis
A amiga Hagata ensinado a tabela de ângulos notáveis com uma pequena musica
Amiga Déborah ensinando como transformar Grau em Radiano e Radiano em Grau.
Amiga Ana Paula falando sobre o Círculo Trigonométrico
A turma fazendo atividade com o Geoplano
Galerinha Bonita
Turma Maravilhosa
Missão Cumprida
Folha de atividades utilizada
Obrigada a Todos :)
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